Info sur le DS : - On y aura peut être des preuves (mais c'est très rare) - On aura surement le droit à une feuille

Variable aléatoire 2

Calcul de l'espérance

Calcul $$ E(X) = \sum x_i \times P(X = x_i) $$ Théorème des transferts $$ E(f(X)) = \sum f(x_i) \times P(X=x_i) $$

Calcul de la moyenne empirique, $P(X = x_i) = \frac{1}{n}$ pour toutes les valeurs alors $$ E(X) = \frac{1}{n} \times \sum x_i $$

Calcul de la variance

Variance de X $$ e_1 = \frac{1}{n} \times \sum_{i = 1}^{n}{(x_i - \bar{m}{xy})^2} = E[(X - E(X))^2] $$ Variance de Y $$ e_2 = \frac{1}{m} \times \sum{j = 1}^{m}{(y_j - \bar{m}_{xy})^2} = E[(Y - E(Y))^2] $$

On peut factoriser ça avec : $f(x) = (x - E(X))^2$ $$ Ef(X) = E[(X - E(X))^2] $$ On as donc $$ Var(X) = E[(X - E(X))^2] = E(X^2) - (E(X))^2 $$

Écart-type

On appelle écart-type de X et on note $\sigma_x$ la racine carré de la variance $$ \sigma_x = \sqrt{Var(X)} $$

Propriétés

Voici quelques propriété sur l'espérance et la variance :

1) Pour toute v.a constante X : $E(X) = c$ 2) (Linéarité) $E(aX + bY) = aE(X) + bE(Y)$ 3) (Positivité) si $X \leq Y$ alors $E(X) \leq E(Y)$ Ex: Avec $X$ et $Y = X^2$, alors pour tout $X(\omega) \leq Y(\omega)$, donc la propriété s'applique 4) Pour toute v.a $X$ on as : $Var(X) \geq 0$ et $Var(c) = 0$ 5) Soit $X$ une v.a. Alors $Var(aX + b) = a^2Var(X)$

(v.a = Variable Aléatoire)

Remarque : $Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y)$ seulement si $X$ et $Y$ sont indépendantes !!

Loi usuelles

Loi de Bernouilli

Expérience à 2 issues:

succès de proba nommé : $p$
échec de proba nommé : $q$ avec $q = 1 - p$

Si $X$ ~ $Bern(p)$, alors

\[ P(X = 1) = p \space ; \space P(X = 0) = 1 - p $$ et on as $$ E(X) = p \space ; \space Var(X) = p(1 - p) \]

Loi Binomiale

C'est la loi du nombre de succès à l'issue de $n$ épreuves indépendante, de Bernouilli et de paramètre $p$. Si $X$ ~ $B(n,p)$

\[ P(X = k) = C^k_n \times p^k \times (1 - p )^{n-k} \space, \space k = 0, \dots, n $$ Avec $$ C^k_n = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]

Une v.a $X$ ~ $B(n,p)$ peut être représentée par $$ X = \sum^n_{i = 1} X_i $$ Ou les $X_i, \space i = 1, \dots, n$ sont de v.a indépendantes, de loi de Bernouilli de paramètre $p$, Donc, $$ E(X) = np \space, \space Var(X) = np(1 - p) $$

Loi Discrètes

Loi de Poisson

Permet de modéliser le nombre d'événements qui se produise pour une unité de temps ou de volume donnée, à un taux moyen fixé.

Si $\lambda$ désigne le nombre moyen d'occurrences par unité de temps ou de volume fixé.
Alors $X$ suit une une Poisson de paramètre $\lambda$ . $$ P(X = k) = e^{-\lambda} \frac{\lambda^k}{k!} \space, \space k = 0, 1, 2, \dots $$ C'est la proba qu'il se produise $k$ occurrences pour l'unité donnée. On a $$ E(X) = \lambda \space , \space Var(X) = \lambda $$ Lien Poisson et Binomiale : La loi de Poisson peut être vu comme une approximation de la loi Binomiale de paramètres $n$ et $p$ lorsque $p \leq 0.1$ et $n \geq 40$ ou lorsque $np < 5$ .

Loi géométrique

On renouvelle une épreuve de $Bern(p)$, de façon indépendante, jusqu'à l'obtention du premier succès. La v.a $X$ donnant le rang du premier succès suit une loi géométrique de paramètre de succès $p$. Si $X$ ~ $\gamma(p)$. $$ P(X = k) = (1 - p)^{k - 1} p \space , \space k = 1, 2, \dots $$ On a $$ E(X) = \frac{1}{p} \space \ \ ; \ \ \space Var(X) = \frac{1 - p}{p^2}. $$

Preuve (le prof l'as pas terminé ) : $E(X) = \sum k \times P(X = k)$ $= \sum k \times (1 - p)^{k - 1} \times p$ $= p \times \sum_{k \geq 1} \ [(f_k(p))]'$ $f_k(p) = - (1 - p)^k$

Autres

Théorème de la limite centrale : $$ \frac{Y - E(Y)}{\sqrt{Var(Y)}} $$