Fonction de répartition

La fonction de répartition d'une variable aléatoire réelle $X$ est la fonction $F_X$ qui, à tout réel $x$, associe la probabilité que $X$ prenne une valeur inférieure ou égale à $x$ : - $F_X(x) =P(X ≤ x)$

Variable aléatoire continue

Une v.a est continue si ses valeurs sont dans un ensemble non dénombrable.

Elle peut représenter par exemple : - La température - Les notes d'une classe - La durée de vie d'une ampoule

Elle est définit par sa densité de probabilité.

Si $X$ est une v.a continue à valeur dans $\mathbb{R}$, de densité $f$, $(1)$ sera alors remplacer par $$ \int^{+\infty}_{-\infty} f(x)dx = 1 $$

Calculer une proba est exactement impossible, car les nombre sont indénombrable $$ P(X = x_i) \approx f(x_{i - 1})(x_i - x_{i - 1}) \approx \int^{x_i}{x{i - 1}} f(x)dx $$ Fonction de répartition avec $f(u)$ la densité $$ F(x) = P(X \leq x) = \int^x_{-\infty} f(u)du $$ Calcul entre intervalle $$ P(X \in [a,b]) = \int^a_b f(x)dx $$

Pour prouver qu'une fonction est une densité de probabilité, il faut prouver : 1) La condition de positivité : $f(x) \leq 0$ 2) et la condition $\int^{+\infty}_{-\infty} f(x)dx = 1$

Fonction de répartition en continue

$F(x) = \int^x_{-\infty}f(x)dx$

Calcul de l'espérance en continue

$E(X) = \int^{+\infty}_{-\infty} xf(x)dx$
$E(g(X)) = \int^{+\infty}_{-\infty} g(x)f(x)dx$

Exemple 1

$g(x) = 2x^2$ si $x \in [2, 4]$ $0$ sinon

Étape 1 : On as besoin juste d'intégrer en 2 et 4 comme le reste vaux 0. $$ c = \int^4_2 g(x)dx = \int^4_2 2x^2dx = [ \frac{2x^3}{3}]^4_2 = \frac{2(4)^3}{3} - \frac{2(2)^3}{3} = 112/3 $$ Il faut que le résultat soit un nombre strictement positif fini sinon ça marche pas

Étape 2 : faire en sorte que la fonction de densité $\int^{+\infty}_{-\infty} f(x) = 1$

Comme $c$ ne vaut pas 1 il faut alors la transformer pour obtenir la fonction $f$ qui sera notre fonction de densité (avec $c$ ce qu'on as calculer avant) $$ f(x) = \frac{g(x)}{c} = \frac{6x^2}{112}, \ x \in [2, 4], \ 0 \ sinon $$ En faisant cette transformation on as bien $\int^{+\infty}_{-\infty} f(x) = 1$

Exemple 2

$f(x) = \lambda e^{-\lambda x}$ si $x > 0$ $0$ sinon

Calculer

$F(x) = \int^x_{-\infty} f(t)dt$

On peut réduire l'intervalle à $[0, x]$ comme pour le reste ça vaut $0$.

$F(x) = \int^x_{0} f(t)dt$ $F(x) = [ -e^{-\lambda x}]^x_0 = -e^{-\lambda x} - (-e^0) = 1 -e^{-\lambda x}$

Loi Normale (au gaussiene)

Loi Normale. (Laplace-Gauss ou gaussienne) elle est l’une des lois de proba. les plus utilisées. Une v.a. X suit la loi normale d’espérance $μ ∈ R$ et de variance $σ^2: X ∼ N (μ, σ^2)$