Lois usuelles

Loi binomiale

Une loi binomiale est définis avec $X$ suit une loi $(n,p)$ avec $n$ le nombre de répétition et $p$ la probabilité de la loi de Bernuilli.

\[ P(X = k ) = C^k_n \times p^k \times (1 - p)^{n - k} \]

avec $C^k_n = \frac{n!}{k!(n -k)!}$

Calcul espérance et variance

\[ E(X) = n \times p \ \ , \ Var(X) = np \times (1 - p) \]

Elle modélise une varaible qui as un comportement uniforme en $[a, b]$ Si $X \text{\textasciitilde} \ U([a,b])$

\[ f(x) = \frac{1}{b - a}1_{[a,b]}(x) = \{ \frac{1}{b-a}, si \ x \in [a, b], 0 \ sinon \]

\[ E(X) = (a + b) / 2, \ \ \ Var(X) = (b-a)^2 / 12 \]

\[ F(x) = P(X \leq x) = \int^x_{a} f(t)dt = \frac{x-a}{b-a}, si \ x \in [a,b] , \ 0 \ sinon \]

Elle décrit des phénomène de temps d'attente, durée de vie.

$1/\lambda$, avec $\lambda > 0$ est l'espérance de vie (ou le temps moyen d'attente)

\[ f(x) = \lambda e^{-\lambda x} \ si \ x \ge 0, \ 0 \ sinon. \]

Si $X \text{\textasciitilde} \ \varepsilon(\lambda)$ on as :

\[ E(X) = 1/ \lambda, \ \ \ Var(X) = \frac{1}{\lambda^2} \]

\[ F(x) = \int^x_0 \lambda e^{-\lambda t}dt = 1 - e^{-\lambda x} \]

Aussi appelé Laplace-Gauss ou gaussienne

On dit que X suit une loi normale : $$ X \text{\textasciitilde} \ N(\mu, \sigma^2) $$

\[ f(x) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} \times e^{\frac{1}{2} \frac{(x - \mu)^2}{\sigma^2}} \]

Soit $X \text{\textasciitilde} \ N(\mu, \sigma^2)$

On prend la loi $X$ qui n'est pas centrée et réduite, et on créer la nouvelle loi $Z$ qui est la version centrée et réduite de $X$.

\[ Z = \frac{X - \mu}{\sigma} \ \text{\textasciitilde} \ N(0, 1) \]

C'est la gaussienne centrée réduite !

Quand $N(0, 1)$ alors la v.a $X$ est symétrique :

On la note $X \chi_x$

\[ X = \sum^n_{i = 1} X^2_i \]

...

Soit $X_1, X_2, X_3, \dots, X_i$, une suite de v.a idépendante identiquement distribué tel que,

Alors $E(X_1) = \mu$, avec probabilité $1$, la moyenne empirique.

$$ \bar{X}_n = \frac{1}{n} \sum X_i \rightarrow \mu $$ Quand $n$ tend vers +$\infin$

C'est un peu près

\[ \sqrt{n} \frac{\bar{X}_n - \mu}{\sigma} = N(0, 1) \]