TD1

Exercie 8

II.

Théorème des limites centrales :

\[ \frac{Y - E(Y)}{\sqrt{Var(Y)}} = Z \rightarrow N(0, 1) \]

1.

\(Y\) suit une loi Binomiale de paramètre \(n = 50 + m\) et \(p = 2/3\)

2.

\[ E(X) = (2/3) \times (50 + m) \ \ et \ \ Var(Y) = (2/9) \times (50 + m) \]

3.

\[ P(Y \le 50) = 98\% \]

On peut essayer de transformer la partie gauche avec \(Y\) en \(Z\) grace au théorème des limites centrales.

\[ P(\frac{Y - E(Y)}{\sqrt{Var(Y)}} \le \frac{50 - E(Y)}{\sqrt{Var(Y)}}) = 0.98 \]

On peut alors transformer la partie gauche en \(Z\)

$$ P(Z \le \frac{50 - E(Y)}{\sqrt{Var(Y)}}) = 0.98 $$ Puis on remplace par les valeurs

\[ P(Z \le \frac{50 - (50 + m) \times 2/3}{\sqrt{\frac{2}{9}(50 + m)}}) = 0.98 \]

Ici on veut alors trouver la valeur de \(Z\) pour \(P(Z \le x) = 0.98\)

Cette valeur peut être chercher dans le tableau des valeur de la loi normal, on y trouve la valeur : \(P(Z \le 2.05) = 0.98\)

On en déduit

\[ \frac{50 - (50 + m) \times 2/3}{\sqrt{\frac{2}{9}(50 + m)}} = 2.05 \]

On peut ensuite transformer notre calcul sous la forme d'une équation du secondé degré par rapport à \(m\).

Le reste de la solution est de résoudre c'est équation pour trouver ses polynomes. La correction est dans le TD.